备忘

$\delta$ 函数

🍎 如果函数 $f(x)$ 的实根 $x_i$ 全是单根，那么有关系 $$\delta (f(x))=\sum _i\frac{\delta (x-x_i)}{|f^{\prime }(x_i)|}$$

1⃣ 首先证明 $\delta (ax)=\frac{\delta (x)}{|a|}$ $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}x\delta (ax)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }\cdot a}^{\mathrm{\infty }\cdot a}\mathrm{d}y\frac{\delta (y)}{a}\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}y\frac{\delta (y)}{|a|}\end{array}$$ 2⃣ 假设函数 $f(x)$ 具有一系列零点 $x_i$ 。附近展开 $f(x)=f(x_i)+f^{\prime }(x_i)(x-x_i)+\frac{1}{2}{f}^{″}(x_i)(x-x_i{)}^2$

$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f(x))\mathrm{d}x& =\sum _i\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{x_i-ϵ}^{x_i+ϵ}\delta (f(x))\mathrm{d}x\text{(1.2)}& & =\sum _i\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{x_i-ϵ}^{x_i+ϵ}\delta (f^{\prime }(x_i)(x-x_i)+\frac{1}{2}{f}^{″}(x_i)(x-x_i{)}^2)\mathrm{d}x\text{(1.3)}& & =\sum _i\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{x_i-ϵ}^{x_i+ϵ}\delta (\underset{ϵ}{\underbrace{f^{\prime }(x_i)(x-x_i)}}+\underset{{ϵ}^2}{\underbrace{\frac{1}{2}{f}^{″}(x_i)(x-x_i{)}^2}})\mathrm{d}x\text{(1.4)}& & =\sum _i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f^{\prime }(x_i)(x-x_i))\text{(1.5)}& & =\sum _i\frac{\delta (x-x_i)}{|f^{\prime }(x_i)|}\end{array}$$

其中

• $\text{(1.1)}$ 是将整个积分区间分成了最多只包含一个零点的一系列小区间，因为 $\delta$ 函数的存在， 只有包含 $f(x)$ 零点的那些小的积分区间才会有贡献。并且由于 $\delta$ 函数的性质，严格说来只有零点附近那“一点点”才有贡献，我们用一个无穷小量 $ϵ$ 来衡量。
• $\text{(1.2)}$ 是将那一个小区间的函数在零点附近做展开。因为 $x_i$ 是 $f(x)$ 的单根，所以最低可以是一阶导数。
• $\text{(1.3)}$ 是把求极限操作直接拿到 $\delta$ 函数里面考虑（这么做可能有点不太好嘿嘿 😋）这样的话二阶导对应的是高阶小量
• $\text{(1.4)}$ 补上了剩下的积分区间，因为其他地方在 $\delta$ 函数的保护下为零
• $\text{(1.4)}$ 中的 $f^{\prime }(x_i)$ 是一个常数，利用前面的第 1⃣ 点就可以得到 $\text{(1.5)}$

$\delta (x^2-a^2)=\frac{1}{2|a|}[\delta (x-a)+\delta (x+a)]$