备忘

\(\delta\) 函数

🍎 如果函数 \(f(x)\) 的实根 \(x_i\) 全是单根，那么有关系 \[ \delta(f(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|} \]

1⃣ 首先证明 \(\delta(ax) = \frac{\delta(x)}{|a|}\) \[ \begin{align} \int^\infty_{-\infty} \mathrm{d}x \delta (ax) &= \int^{\infty\cdot a}_{-\infty\cdot a} \mathrm{d}y \frac{\delta (y)}{a} \\ &= \int^{\infty}_{-\infty} \mathrm{d}y \frac{\delta (y)}{|a|} \end{align} \] 2⃣ 假设函数 \(f(x)\) 具有一系列零点 \(x_i\) 。附近展开 \(f(x) = f(x_i) + f'(x_i)(x-x_i) + \frac{1}{2}f''(x_i)(x-x_i)^2\)

\[ \begin{align} \int^\infty_{-\infty} \delta(f(x)) \mathrm{d}x &= \sum_i \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \int^{x_i+\epsilon}_{x_i-\epsilon} \delta(f(x)) \mathrm{d}x \tag{1.1} \label{eq1} \\ &= \sum_i \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \int^{x_i+\epsilon}_{x_i-\epsilon} \delta\biggl( f'(x_i)(x-x_i) + \frac{1}{2}f''(x_i)(x-x_i)^2 \biggr) \mathrm{d}x \tag{1.2} \label{eq2} \\ &= \sum_i \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \int^{x_i+\epsilon}_{x_i-\epsilon} \delta\biggl( \underbrace{f'(x_i)(x-x_i)}_{\epsilon} + \underbrace{\frac{1}{2}f''(x_i)(x-x_i)^2}_{\epsilon^2} \biggr) \mathrm{d}x \tag{1.3} \label{eq3} \\ &= \sum_i \int^{\infty}_{-\infty} \delta\biggl( f'(x_i)(x-x_i) \biggr) \tag{1.4} \label{eq4} \\ &= \sum_i \frac{\delta (x-x_i)}{|f'(x_i)|} \tag{1.5} \label{eq5} \end{align} \]

其中

• \(\eqref{eq1}\) 是将整个积分区间分成了最多只包含一个零点的一系列小区间，因为 \(\delta\) 函数的存在， 只有包含 \(f(x)\) 零点的那些小的积分区间才会有贡献。并且由于 \(\delta\) 函数的性质，严格说来只有零点附近那“一点点”才有贡献，我们用一个无穷小量 \(\epsilon\) 来衡量。
• \(\eqref{eq2}\) 是将那一个小区间的函数在零点附近做展开。因为 \(x_i\) 是 \(f(x)\) 的单根，所以最低可以是一阶导数。
• \(\eqref{eq3}\) 是把求极限操作直接拿到 \(\delta\) 函数里面考虑（这么做可能有点不太好嘿嘿 😋）这样的话二阶导对应的是高阶小量
• \(\eqref{eq4}\) 补上了剩下的积分区间，因为其他地方在 \(\delta\) 函数的保护下为零
• \(\eqref{eq4}\) 中的 \(f'(x_i)\) 是一个常数，利用前面的第 1⃣ 点就可以得到 \(\eqref{eq5}\)

\(\delta (x^2-a^2) = \frac{1}{2|a|}[\delta (x-a)+\delta (x+a)]\)